離散高斯-博內定理（discrete Gauss-Bonnet theorem）
有一條單一規則，把閉曲面上的隆起與鞍點綁定到一個無論你怎麼彎折都不變的計數整數上。離散高斯-博內定理說：把閉三角剖分曲面每個頂點的角虧加起來，你總是得到同一個答案，2*pi 乘以歐拉示性數——無論網格多粗或多細，無論你怎麼把它壓凹。總曲率是一個拓樸常數。早在高斯-博內以光滑形式陳述之前數百年，笛卡兒對多面體本質上已知此事。
乾淨地陳述：對一個閉的（無邊界）三角剖分曲面 K，對所有頂點 v 求和角虧 d(v) = 2*pi - （相鄰角之和）等於 2*pi * chi(K)，其中 chi(K) = V - E + F 是歐拉示性數。可用一行的記帳技巧證明：所有三角形所有角的總和，一方面是按三角形求和（每個三角形三角加成 pi，得 pi*F），另一方面是按頂點求和其相鄰角，即 2*pi*V 減去總角虧。令兩者相等，再用 3F = 2E（每個三角形有三條邊，每條內部邊由兩個三角形共有）即得 2*pi(V - E + F)。此定理是光滑高斯-博內定理（K 在 M 上的積分加邊界項等於 2*pi*chi(M)）的精確離散影子，角虧扮演高斯曲率積分的角色。
它的重要性同時是概念上與實務上的。概念上，它是曲率受拓樸約束最乾淨的例子：你可以把曲率推來推去——靠把一個頂點變尖來把另一個壓平——但總量被虧格固定。實務上，它替離散曲率計算把關：若你的程式碼把頂點角虧加總卻得不到 2*pi*chi，那就是有 bug 或網格不閉合。帶邊界的版本把邊界的離散測地曲率（轉角）加到頂點角虧上；誠實的提醒是：這種精確性是組合結構與邊長的性質，故對任何三角剖分都成立，但它除了虧格之外不告訴你任何額外資訊——兩個 chi 相同卻幾何迥異的曲面有相同的總角虧。
取任意三角剖分的環面（虧格 1）。則 chi = 0，所以離散高斯-博內定理迫使總角虧恰為 0：每個正曲率頂點（角虧 > 0）都被鞍狀頂點（角虧 < 0）抵消，無論這個甜甜圈如何網格化或塑形，總和為零。
在環面上，隆起與鞍點必須恰好抵消，因為 chi = 0 把總角虧釘死為零。
此恆等式對每個三角剖分都精確，但純屬拓樸：相同的歐拉示性數迫使相同的總角虧，所以這定理絕不區分幾何。它是曲率的校驗和，不是形狀的度量。