三角剖分曲面（triangulated surface）

拿一個光滑曲面——汽車彎曲的引擎蓋、人臉、地形——用一片由平面三角形拼成的被子去逼近它，三角形的角落落在曲面上。結果就是三角剖分曲面：一個二維單純複形，三角形鋪滿這個形狀，使得在每個頂點周圍，三角形扇形展開成單一圓盤，而沿每條內部邊恰有兩個三角形相會。這是電腦圖學與幾何處理的主力物件，在那裡通常稱為三角網格。

精確地說，三角剖分曲面是一個單純複形 K，外加組合流形條件：每個頂點的連結（link）是單一邊環（或在邊界頂點上是單一路徑），於是 |K| 是一個拓樸曲面，可能帶邊界。資料是三張清單——頂點在 R^3 中的位置、邊、三角形面——加上它們之間的關聯關係；經典的半邊（half-edge）或四邊（quad-edge）資料結構儲存這些，讓你能在常數時間內從一個三角形走到它的鄰居。曲率與其他光滑量並非免費奉送：它們必須離散地重新導出，例如把高斯曲率以角虧的形式集中於頂點，或把離散平均曲率附在邊上。

三角剖分曲面之所以重要，是因為我們掃描、模擬或繪製的幾乎一切都以網格形式存在。組合結構控制拓樸——歐拉公式 V - E + F = 2 - 2g 釘住了虧格 g——而頂點位置承載幾何，兩者彼此獨立：細分三角剖分會同時改變 V、E、F，卻不改變虧格。一個微妙而重要的誠實點是：網格量取決於三角剖分，而非僅取決於底層的光滑曲面：一個形狀糟糕的網格（細長片、極鈍角三角形）可能讓離散曲率與餘切拉普拉斯算子表現失常，即使它所逼近的曲面完全光滑。