簡併微擾理論（degenerate perturbation theory）
普通微擾理論有個致命盲點：它要除以能階之間的能隙，所以當兩個以上的未擾態擁有完全相同的能量——即簡併——公式就發散。簡併微擾理論就是這個修正。關鍵洞見是：當數個態相等時，微擾本身有權選擇它們的哪些組合才是「正確」的起始態，一旦讓它去選，發散就消失，正確的分裂便浮現。
設某能階 g 重簡併，未擾態 |1>, ..., |g> 都在能量 E^0。麻煩在於它們的任意線性組合同樣是 H_0 的本徵態，所以沒有唯一的「零階」態可供微擾。解法是：在簡併子空間內建立微擾的 g×g 矩陣 W_ij = <i| H' |j>，並將其對角化。它的本徵值就是一階能量位移——微擾把單一簡併能階分裂成（至多）g 個不同能階——而它的本徵向量就是「好」的零階態，也就是微擾不會混合的特定組合。對稱性是你的好幫手：若選取本身就是某個與 H_0 和 H' 都對易的算符之本徵態的基底，會使 W 分塊對角（或對角），你往往完全不必做矩陣運算就能讀出分裂。
這正是物理中幾乎每一種「分裂」背後的機制。季曼效應在磁場中分裂磁能階，史塔克效應在電場中分裂它，自旋-軌道耦合把偶然簡併的氫能階分裂成精細結構——每一個都是辨認好態並解除簡併的簡併微擾計算。核心教訓是概念性的：對稱性產生簡併，而破壞對稱性的微擾解除它，分裂的圖樣恰好揭露了是哪個對稱性被打破。
氫的 n=2 能階四重簡併（2s 與三個 2p 態，忽略自旋）。微弱電場（線性史塔克效應）混合 2s 與 2p_z 態；把 2×2 微擾矩陣對角化，使它們分裂開來，分裂量正比於電場，而另外兩個 2p 態不位移——好態是 2s 與 2p_z 的和與差，這是教科書級的簡併微擾結果。
線性史塔克效應：電場的好態是 2s 與 2p_z 的組合，對稱地分裂於原能階兩側。
有簡併時你不能任意挑零階態——必須讓微擾矩陣經由對角化來選出它們，否則一階理論根本是錯的。微擾恰好在你所選的簡併基底中已是對角的，是幸運的特例；一般情況並非如此，而非對角元正是此方法要處理的對象。