函數的定義域與值域（domain and range）

每個函數都附帶兩個集合，它們和公式一樣是函數不可分割的一部分。定義域是函數允許接受的輸入所成的集合；值域（或稱像）是當 z 跑遍整個定義域時實際產生的輸出所成的集合。問「f 是什麼？」卻不講它的定義域，就像報價卻不說幣別一樣——不完整。

對複變函數 w = f(z) 而言，定義域是 z 平面上的一個點集，值域是 w 平面上的一個點集。要求值域，就想像 z 走訪定義域的每一點，把得到的所有 w 蒐集起來。例如 f(z) = 1/z 的定義域是「除了 0 以外的所有 z」（不能除以零），而它的值域結果也是「除了 0 以外的所有 w」。再如定義域為整個平面的 f(z) = z^2，值域是整個平面，因為每個複數都有平方根。

有兩點值得謹記。第一，值域可能遠小於整個 w 平面——常數函數 f(z) = 3 的值域只是單一點 3。第二，在複分析裡「domain（域）」一詞還有第二個專門意義：一個開連通集（你可以在裡面四處移動而不離開的區域）。上下文會告訴你指的是哪一個；這裡我們指的是允許輸入的集合，但兩個概念常常重合，因為我們通常在開連通集上研究函數。