對初始條件的連續依賴（continuous dependence on initial conditions）

連續依賴問的是一個關於穩健性的問題：如果你把起點稍微推一下，整個解是否只移動一點點？如果初始值髮絲寬的改變，會在每個區間上產生一條截然不同的曲線，那會令人不安；我們希望小原因有成比例的小效應，至少在一段固定的有限時間內如此。正是這個性質，使我們在初始資料只能近似得知時（而這永遠成立）仍能信賴一個模型。

在賦予存在唯一性的相同假設下——f 的利普希茨條件——這以精確、可量化的形式成立。若兩個解起始相距 d，則它們在稍後「時間」x 處的差距被 d 乘以 e^(L|x - x0|) 所界定，其中 L 是利普希茨常數。那個指數因子是誠實的部分：曲線可能漸漸分開，但不會快過這個受控的指數速率，所以在任何固定區間上，當起始差距小時，最終差距也保持小。這個估計本質上就是格朗沃爾不等式在運作，而同樣的論證也延伸到對方程內部參數的依賴，不只是對初始值。

誠實的警語就住在那個指數裡。連續依賴是關於一個固定有限區間的陳述；它不承諾鄰近的軌跡永遠保持靠近。在長時間下，e^(L|x|) 這個界限可能大得驚人，而在混沌系統中，微小的初始差異確實會放大，直到預測完全發散——那就是敏感依賴，混沌的引擎。連續依賴與敏感依賴並不衝突：解在每個固定的時間視界上都連續地依賴其資料，然而那個連續性常數可能隨視界增長而爆掉。