格朗沃爾不等式（Gronwall's inequality）
/ GROHN-vahl /
格朗沃爾不等式是整門學問中最有用的單一估計：一個把自我指涉的界限變成顯式界限的小引理。它的工作是把「這個量被一個常數加上它自身的累積所界定」這樣的陳述，導出「這個量增長不會快過指數」的結論。它是「一個按比例對自身回饋的過程至多以指數增長、絕不更快」這個直覺的嚴格形式。
其基本形式為：若一個非負函數 u(x) 滿足 u(x) <= a + L 乘以從 x0 到 x 對 u(t) dt 的積分，其中常數 a >= 0、L >= 0，則自動有 u(x) <= a 乘以 e^(L(x - x0))。注意輸入的形狀——未知的 u 出現在兩邊，被困在自己的積分裡——以及輸出的形狀——一個乾淨、顯式的指數上限，不再有積分。那一步，把隱式的積分界限轉成顯式的指數界限，正是它如此強大的原因：它恰是控制微分方程的解能多快增長或擴散所需的工具。
這一條不等式悄悄驅動了此處三個主要定理。它給出唯一性：令 u 為兩個同起點之解的差，得 a = 0，導出 u <= 0，於是兩解重合。它給出連續依賴：用 e^(L|x - x0|) 乘以初始差距來界定兩解之差。它還支撐延拓與排除爆破的先驗界限。每當存在唯一性理論裡的某個證明需要說「這個量不能增長太快」，格朗沃爾幾乎總是那個隱藏的引擎。
證明唯一性：若 y 與 z 都解 y' = f(x, y)、起點相同，且 f 利普希茨、常數為 L，令 u = |y - z|。則 u(x) <= L 乘以從 x0 到 x 對 u(t) dt 的積分，所以這裡 a = 0。格朗沃爾逼出 u(x) <= 0 乘以 e^(Lx) = 0，故 y = z。兩個解根本不可能有任何差異。
當 a = 0 時指數上限塌縮為零——格朗沃爾就是這樣一行交付唯一性。
這個不等式用指數而非常數來界定增長——它說的是「不快過 e^(Lx)」，這是誠實的真相：線性速率回饋的解確實可以指數增長，只是絕不更快。