計算金融（computational finance）

今天，三個月後以一百美元買進某股票的權利，公允價格是多少？沒人知道屆時股價會在哪裡，所以價格取決於整片可能的未來及其機率。計算金融就是當沒有簡單公式可用時，運用數值方法來回答這類問題——為選擇權與其他衍生品定價、衡量風險、最佳化投資組合。

兩大計算引擎主宰著這個領域。第一條是偏微分方程路線：在標準假設下，選擇權的公允價格服從布萊克-修斯偏微分方程，一個在價格與時間上類似擴散的方程。你用解熱方程的同一套有限差分機械把它數值求解——在股價與時間上設一個網格，從到期日已知的收益向今日的價格向後推進，通常用克蘭克-尼科森這類隱式格式以求穩定。第二個引擎是蒙地卡羅模擬：依假設的模型抽取數千乃至數百萬條隨機價格路徑，沿每條計算選擇權的收益，再取平均；依大數法則，那個平均會收斂到價格。蒙地卡羅在複雜、路徑相依或高維（多個標的資產）的產品上大放異彩，那裡 PDE 網格會遭受維度災難。

這些方法為每日以兆計交易的衍生品定價、計算如風險值這樣的風險度量，並對投資組合做壓力測試。這裡的誠實是尖銳的，曾在金融危機中以鮮血寫就：數字的可靠度，不超過其背後的模型。布萊克-修斯假設一個帶有固定波動率的整潔隨機漫步——市場會跳躍、崩盤，並有它所忽略的肥尾。蒙地卡羅誤差僅以路徑數的平方根分之一下降，所以多算一百倍只買到十倍的準確度，這就是為何變異數縮減技巧很重要。一個來自錯誤模型的精確價格，是精確地錯。