弱形式（weak formulation）

假設有一張薄彈性膜沿著一圈鐵絲框被釘住，並在自身重量下下垂。描述它形狀的「強」方式，是一條必須在「每一個點」都成立的微分方程：這裡的曲率、那裡的荷載，恰好平衡。但逐點的要求很挑剔——它要求解光滑到可以微分兩次，而這往往超過物理本身所能保證的。弱形式要求得更少：它不要求方程在每一點成立，而是要求方程在對「每一個」光滑「測試」形狀加權之後「平均」成立。

具體來說，取一條 PDE，例如 -u'' = f（下垂膜的一維模型）。你在兩邊乘上一個任意的測試函數 v，且 v 在 u 值被指定之處為零，然後在整個區域上積分：integral of (-u'' v) = integral of (f v)。現在對左邊分部積分。邊界項消失（因為 v 在固定的兩端為零），一個導數從 u 轉移到 v 上，留下 integral of (u' v') dx = integral of (f v) dx。這必須對「每一個」可容許的 v 成立。奇妙的是這筆交易：新方程只涉及 u 的一階導數，不涉及二階，所以即使對有折角的解也說得通——正是有限元素法將要使用的那種分段多項式函數。

這個改寫是通往有限元素法的大門。因為弱形式只需要一階導數，又寫成一條積分恆等式，你可以把 v（與 u）限制在一個由簡單形狀函數張成的有限維空間中，得到一個可解的線性方程組（伽遼金法）。誠實地說，「弱」不代表「次等」：對許多問題而言，當強解存在時，弱解與強解一致；而在沒有二次可微的強解時，弱形式仍可能有一個合理的解——在處理裂縫、尖角或材料跳變時，這是優點而非缺陷。