形狀函數（shape function）

想像用一組固定的硬紙板帳篷拼出任何輪廓，每個帳篷立在一根樁上，並向兩旁的鄰居斜降到零。把每個帳篷上下滑動到選定的高度，全部疊加，你就能描出整條鋸齒狀的剖面。在有限元素法中，這些帳篷就是形狀函數：簡單、局部的建構基塊，每個綁在一個網格節點上，而近似解不過是它們的加權和。

經典例子是一維的「帽」（或「帳篷」）函數：phi_i(x) 在節點 i 處等於 1，向兩個相鄰節點線性降到 0，其餘各處恰好為零。因為 phi_i 在自己的節點上為 1、在所有其他節點上為 0，所以 u_h = sum c_j phi_j 中的係數 c_i 就字面上是解在節點 i 的值——未知數「就是」節點值。這些函數是「局部」的：每一個只在碰到其節點的一兩個元素上非零，於是當你計算 integral(phi_i' phi_j') 這類積分時，大多數配對都給出零，剛度矩陣就變得稀疏。較高階的形狀函數（二次、三次）在邊與內部加上額外節點以捕捉曲率；在二維與三維中，同樣的想法給出立在三角形、四面體或四邊形上的金字塔。

形狀函數正是「有限元素」得名之處——網格被切成元素，在每個元素上解是一個低次多項式，並與鄰居連續地縫合。誠實的取捨是逼近能力對成本：線性帽便宜又穩健，但在能量平方意義下只以 O(h^2) 收斂；更豐富的多項式對光滑解收斂更快，但每個元素的成本更高，且在尖角或不連續處附近可能表現失常，那裡細化網格（更小的 h）往往比提高多項式次數更安全。