測試函數（test function）

想像你想檢查一把長尺是否筆直，但不准直接看它——你只能把各種形狀的樣板貼上去，量出總縫隙。如果你試過的每一個樣板都顯示淨縫隙為零，那把尺必定是直的。測試函數對一條微分方程扮演的就是這種樣板角色：它是一個你拿來乘上方程、再積分的「探針」，使得方程對「每一個」探針都成立這件事，逼迫方程本身成立。

在 PDE 的弱形式中，你把方程乘上一個測試函數 v，並在整個區域上積分。「這條積分恆等式對所有可容許的 v 都成立」這個要求，正是釘住解的關鍵。可容許測試函數的空間很重要：通常要求它們在解的值已被指定的那段邊界（本質邊界）上為零，因為那裡已無可測試之物。在伽遼金法中，最巧妙的選擇是讓測試函數取自與解的形狀函數「相同」的有限維空間——於是方程被輪流對每一個基函數施加，得到的方程數恰好等於未知數的個數。

這個名稱來自它的用法，而非它本身是什麼。其他領域稱它為權函數（你在對殘差加權）或虛位移（在力學中，是一個與約束相容的想像中的微小運動——虛功原理）。誠實的微妙之處：選擇與試驗／形狀函數不同的測試函數，會得到 Petrov-Galerkin 法，對對流主導的問題可能更穩定，但更難分析；單純的伽遼金選法（測試 = 試驗空間）是預設，也正是它讓對稱問題所得的剛度矩陣保持對稱。