馮諾伊曼穩定性分析（von Neumann stability analysis）
/ fawn NOY-mahn /
有限差分格式若誤差不隨時間推進而成長，便穩定——你不希望某格一個微小的捨入閃失，十步後膨脹成淹沒答案的滔天巨浪。「誤差會成長嗎？」聽來困難，但對均勻網格上的線性格式有一個極其鋒利的工具：餵給格式單一個傅立葉波，問它成長還是衰減。這就是馮諾伊曼穩定性分析，發明於洛斯阿拉莫斯，至今仍是穩定性的日常主力。
其想法利用：任何誤差都可寫成傅立葉模式之和，而線性格式獨立地處理每個模式。於是你代入單一模式，節點 j、時間層 n 處的誤差形如 g^n * e^(i*theta*j)，其中 theta 是該模式的波數（每格步的相位），g 是未知的「放大因子」——一個時間步內該模式被乘上的數。代入格式；e^(i*theta*j) 因子相消，你解出 g 作為 theta 與格式參數的函數。當 |g| > 1 模式成長，|g| < 1 衰減。格式恰當「每個」波數 theta 都有 |g(theta)| <= 1 時穩定——不容許任何模式無界成長（每步 1 + O(k) 的微小成長可容忍，因它在固定時間內累積成有界因子）。
範例：對 u_t = alpha*u_xx 的 FTCS，代入得 g = 1 - 2r*(1 - cos theta) = 1 - 4r*sin^2(theta/2)，r = alpha*k/h^2。危險的模式是 theta = pi（鋸齒，sin^2 = 1），給出 g = 1 - 4r。要求 |1 - 4r| <= 1 恰得 r <= 1/2——FTCS 穩定限，三行就推出。此法誠實的限制：它假設「線性」、常係數的格式在均勻、週期（或無窮）網格上，並忽略邊界效應。儘管有這些告誡，它在實務上可靠得驚人，是你尋找格式時間步限制時第一個伸手去拿的工具。
對 BTCS，同樣的代入給出 g = 1 / (1 + 4r*sin^2(theta/2))。由於對每個 theta 與 r > 0，分母至少為 1，故恆有 |g| <= 1——BTCS 無條件穩定，k 無限制。克蘭克-尼科森給出 g = (1 - 2r*sin^2(theta/2)) / (1 + 2r*sin^2(theta/2))，同樣對所有 r 有 |g| <= 1。
餵入一個傅立葉模式，解出其成長因子 g，要求所有波數都 |g| <= 1。
馮諾伊曼分析假設均勻網格上「線性」、常係數的格式並忽略邊界——它是一個必要條件，在那些假設下才變充分。真實的邊界條件或變係數可能使一個通過馮諾伊曼檢驗的格式失穩，故它是指引而非絕對保證。