離散傅立葉轉換（discrete Fourier transform）
在鋼琴上按一個和弦，空氣傳來的只是一道混雜的壓力波，你的耳朵卻能毫不費力地聽出其中各別的音。離散傅立葉轉換對一串取樣數字做的正是這件事：它把一段以 N 個等間隔樣本記錄下來的訊號，分析出其中藏著「多少」各個純頻率。原始樣本告訴你每個時刻的值，而 DFT 告訴你每一個振盪的強度與相位——把它們疊加起來就能還原這些樣本。
具體來說，給定樣本 x_0、x_1、...、x_{N-1}，DFT 透過公式 X_k = 對 n 從 0 到 N-1 求和 x_n * e^(-2*pi*i*k*n/N) 產生 N 個複數 X_0、...、X_{N-1}。把 e^(-2*pi*i*k*n/N) 想成一支單位長度的箭，當 n 跑遍 N 個樣本時，它繞圓轉了 k 整圈；X_k 衡量資料與這個特定旋轉速率對齊的強度。索引 k = 0 給出所有樣本之和（平均值，或稱直流分量）；k 越大，探測的擺動越快。|X_k| 是該頻率出現的量，X_k 的角度則是它的相位（波從何處開始）。此轉換完全可逆：由 X_k 可用反 DFT 重建原始的 x_n。
DFT 是音訊等化器、影像壓縮、振動分析、無線電，以及任何週期或取樣資料分析背後的主力。若直接照定義計算，需要 O(N^2) 次運算——N 個輸出各是對 N 個輸入求和——對一首歌或一張照片的數百萬樣本而言代價高得驚人。快速傅立葉轉換摧毀的正是這個代價。一個誠實的細節：DFT 隱含假設你的 N 個樣本是某個永遠重複的訊號的一個週期，因此兩端接不齊的訊號會產生虛假的頻率（頻譜洩漏）。
在 N = 8 個點上取樣純音 x_n = cos(2*pi*3*n/8)。它的 DFT 除了 k = 3 與 k = 5（3 的鏡像）之外處處為零，這兩處各有大小 4。轉換精準指出了那八個原始數字所隱藏的單一頻率「每窗 3 個週期」。
八個時間樣本變成八個頻率振幅——一根尖峰標出隱藏的音。
DFT 的頻率格點只對「在窗內剛好整數個週期」的頻率是精確的。落在格點之間的真實世界音調會塗抹到許多格點上——這是洩漏，不是你資料的缺陷，而加窗能加以馴服。