成長因子

當你執行消去時，矩陣內的數字在每一步都改變，有時會變得比你起初的任何數都大。成長因子就是衡量這個變化程度的單一數字：它把消去過程中任何地方曾出現過的最大絕對值，和原矩陣的最大元素相比。若元素大小大致維持不變，成長就小、你很安全；若它們暴增，你就有麻煩了。

精確地說，成長因子 rho 是消去過程中所有中間矩陣裡任何元素最大絕對值，與 A 中最大絕對值的比值。它之所以重要，是因為向後誤差分析顯示，高斯消去法的捨入誤差受到一個正比於 rho 乘以單位捨入的量所限制：算出的 L 與 U 解的是系統 A + E，其中擾動 E 相對於 rho 很小。所以小成長意味向後穩定與可信的答案；大成長則意味消去在內部製造了淹沒資料的巨大抵消。樞紐選擇存在的主因正是把 rho 控制住：在部分樞紐下，每個乘數絕對值至多為 1，這把 rho 的最壞情況上限定在 2^(n-1)，但對幾乎所有真實矩陣都讓它保持極小（幾倍，而非數百萬倍）。

成長因子正是「為穩定性而選樞紐」（而不只是「為避開零而選樞紐」）才是正確口號的誠實理由。完全不選樞紐時，即使 A 良態，rho 也可能極大，於是答案被演算法而非問題本身毀掉。在完全樞紐下 rho 可證明被多項式地界住。一個微妙又著名的事實是：部分樞紐的 2^(n-1) 上限在實務上幾乎從不被逼近——病態成長矩陣稀有到可忽略——這正是為何部分樞紐儘管缺乏滴水不漏的最壞情況保證，仍被到處信賴。