完全樞紐選擇

部分樞紐選擇只從當前這一行挑最好的樞紐。完全樞紐選擇是更徹底的表親：每一步都在整個剩餘子矩陣中搜尋絕對值最大的元素，並透過同時交換一列與一行把它帶到樞紐位置。它是對樞紐最大限度謹慎的選擇，用於你想要對誤差成長最強防護的時候。

在消去第 k 步時，部分樞紐只比較第 k 行對角線下方的 n - k + 1 個元素；完全樞紐則比較右下方區塊全部 (n - k + 1)^2 個元素，找出全域最大值，並以一次列交換與一次行交換把它移到 (k, k)。由於行交換會重排未知數，記帳需要第二個置換：分解變成 P A Q = L U，其中 P 記列交換、Q 記行交換，最後須把解反置換回來。在完全樞紐下，成長因子可證明有界（至多多項式成長，遠慢於部分樞紐可能的指數最壞情況），因此它是數值上最穩健的稠密消去。

儘管保證更強，完全樞紐卻很少使用。原因是成本：每一步搜尋整個子矩陣增加 O(n^3) 次比較，與算術本身相當，遠多於部分樞紐的 O(n^2)，而且它破壞了讓分塊 BLAS 變快的記憶體友善存取模式。既然部分樞紐對幾乎所有真實矩陣已夠穩定，完全樞紐的額外安全幾乎從不值得這個拖慢。折衷選項「車樞紐選擇（rook pivoting）」搜尋量介於兩者之間。所以：完全樞紐是課本中穩定性的黃金標準與有用的理論基準，但生產程式實際跑的是部分樞紐。