補集計數

有時候你想計數的東西龐雜、情況一大堆，而它的「相反」卻簡短又單純。補集計數就是改去計數那個相反的東西，再從總數中減掉的習慣。口號是：與其直接算你想要的，不如算出全部、算出你「不想要」的，再取差。

正式地說，若 S 是全部可能性的集合、A 是你在意的子集，則 |A| = |S| - |非 A|，其中「非 A」是補集。經典的觸發詞是「至少一個」。計數含「至少一個」某物的排法，通常意味著要處理許多重疊的情況（恰好一個、恰好兩個……），但它的補集是「一個都沒有」這個單一乾淨的情況。例如，含「至少一個 7」的四位數密碼很難直接列舉，但總數是 10^4 = 10000，而「沒有 7」的密碼是 9^4 = 6561，所以答案是 10000 - 6561 = 3439。

在機率裡這就是補集法則，P(A) = 1 - P(非 A)，是最有用的捷徑之一——生日問題就是這樣解的（先算所有生日都不同的機率，再用 1 去減）。只要你正確算出了總數與補集，這個方法是精確的，不是近似。只要確認補集真的是「除 A 之外的全部」，沒有重疊也沒有遺漏即可。