錯排（亂序排列）
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假設 n 個人各自寫了一封信並寫好信封，但信件被完全隨機地塞進信封。沒有「任何一封」信落入正確信封的機率是多少？一種排列若沒有任何元素回到自己原本的位置，就稱為錯排，而計算它的數目是排容原理的一個漂亮應用。
設 D(n)（也寫作 !n）為 n 個東西的錯排數。直接計數很難，因為「沒有人在對的位置」一次禁止了許多位置，所以我們透過排容原理用補集計數。先取全部 n! 種排列，減去至少固定一個元素的，加回至少固定兩個的（被減了兩次），依此類推。結果是乾淨的公式 D(n) = n! 乘 (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n / n!)。小 n 時：D(1) = 0，D(2) = 1，D(3) = 2，D(4) = 9，D(5) = 44。也有一個整齊的遞迴式，D(n) = (n-1) 乘 (D(n-1) + D(n-2))。
令人吃驚的是完全錯配的機率：D(n)/n! 等於那個交錯和，正是 e^(-1) 級數的前幾項。所以隨著 n 增大，隨機洗牌讓「每一個」都不在原位的機會穩定在 1/e 附近，約 0.3679——而且收斂得很快，在 n = 6 時就已非常接近。值得記住的教訓：這個機率幾乎不隨 n 改變，這推翻了「人越多、完全錯配就越罕見」的常見猜測。
三個朋友隨機各拿走三頂帽子中的一頂。共有 3! = 6 種方式；錯排（沒有人拿到自己的帽子）數為 D(3) = 2，所以人人都拿錯的機率是 2/6 = 1/3 約 0.333——已經接近 1/e 約 0.368。
D(n) 計算沒有任何不動點的排列數；D(n)/n! 趨近 1/e。
完全錯配的機率收斂到 1/e，並且隨 n 增大幾乎不變——「東西越多、完全錯排就越罕見」並「不」成立。