生日問題（birthday problem）

生日問題問了一個看似簡單的問題：在一個只有 23 人的房間裡，至少有兩人生日相同的機會是多少？多數人會猜一個很小的數，因為自己的生日被一位陌生人撞上，大約只有 365 分之 1 的時候。令人驚訝的答案是：23 人時，存在某對共享生日的機率已經超過一半，約 50.7%。它之所以被稱為悖論，並不是因為它違反任何規則，而是因為它與一個自信卻錯誤的直覺正面相撞。

竅門在於數清楚你真正在問什麼。你問的不是「有沒有人和你相同」；你問的是「群體中任何一對是否相同」，而對數成長得很快——23 人造出 23 × 22 / 2 = 253 個不同的對，每一對都是一次新的相撞機會。乾淨的算法用補集規則：求「所有生日都不同」的機率，再用 1 去減。在目前為止全都不同的條件下，第二人必須避開 1 個生日（364/365），第三人必須避開 2 個（363/365），以此類推。把這些對 23 人乘出來，你得到 P(全不同) ≈ 0.493，所以 P(存在共享生日) = 1 - 0.493 ≈ 0.507。

生日問題是整個學科的一則教學寓言：它顯示了為什麼生硬的直覺需要公理的紀律與仔細的計數。這個教訓的推廣遠遠超出生日——它解釋了為什麼雜湊表碰撞與密碼學中的「生日攻擊」遠比新手預期的更早發生。每當許多項目各自與許多其他項目相比較時，驅動驚奇的是比較的次數，而非項目的數目，唯有一次仔細的補集計算能馴服它。