相容性條件（compatibility conditions）

當你建立一個初邊值問題時，兩個關於系統的不同說法在角點相遇。初始條件告訴你 t = 0 時各處的狀態，包括端點處；邊界條件告訴你端點處在所有 t >= 0 的情形，包括最初那一瞬間。在角點——比如 (x = 0, t = 0)——兩個說法同時開口，而它們最好說的是同一件事。相容性條件就是要求初始資料與邊界資料在它們相遇之處彼此一致，使問題不會悄悄地自相矛盾。

具體而言，取帶狄利克雷條件 u(0, t) = 0 與初始條件 u(x, 0) = f(x) 的熱方程初邊值問題。在角點處，邊界說 u(0, 0) = 0，而初始資料說 u(0, 0) = f(0)。這兩者只有在 f(0) = 0 時才能一致——這就是零階相容性條件。若你想要更平滑的解，就需要更多：對邊界條件微分、並在角點處使用方程 u_t = k u_xx，會迫使 f''(0) = 0 也成立（下一階條件），而你對解多要求一級平滑性，就對資料多加一條這樣的匹配條件。若它們不成立，解仍然存在，卻會在角點發展出一個奇異性——那裡會有一個尖角或導數的爆破——儘管它在內部完美地平滑。

相容性條件是有界定義域上適定性的細則。它們解釋了一個令初學者驚訝的現象：你可以解一個初始分布與邊界值之間有不連續的熱方程，解在遠離 t = 0 處確實平滑，卻不是一路平滑到角點。你是否需要強制相容性，取決於你想要多強的解：古典（平滑）解要求它們，弱解則能容忍這個不匹配。它們也是分離變數法的答案有時在角點附近收斂緩慢的原因——級數誠實地報告了資料中內建的不相容性。