圓律（circular law）
圓律是當你拋棄對稱性時特徵值會發生的事。Wigner 矩陣被迫為 Hermite，故其特徵值為實且落在一條線上（半圓）。但最素樸的隨機矩陣——獨立填入每個元素、毫無對稱約束——具有複特徵值，且它們並不填滿一條線：它們均勻地填滿一個圓盤。這就是圓律，半圓的非 Hermite 對應，而嚴格證明它竟比 Hermite 情形困難得多。
設 A_N 為 N×N 矩陣，元素為均值 0、變異數 1 的獨立同分布，未施加對稱（故對角線上下的元素獨立而非相等）。歸一化為 H_N = A_N / sqrt(N)。H_N 的 N 個特徵值現在是散布於平面的複數。圓律陳述這些複特徵值的經驗譜分布收斂到單位圓盤 {z in C : |z| <= 1} 上的均勻機率測度——圓盤內密度恆為 1/pi、外部為零。與半圓不同，這之所以困難，是因為對非正規矩陣，特徵值在擾動下極不穩定（預解式 (H_N - z)^(-1) 即使遠離任何特徵值也可能巨大，即偽譜現象）。成功的證明由 Tao 與 Vu 完成（建立於 Girko 的策略與 Bai 的工作之上），透過 Hermite 化技巧進行：藉由對每個複 z 研究位移矩陣 A_N - z I 的奇異值來研究 A_N 的特徵值，因為 log|det(A_N - z)| = sum of log of the singular values，而特徵值測度的對數位勢恰恰是此平均對數行列式。困難的解析輸入是控制 A_N - z 的最小奇異值（最小奇異值問題），使對數可積。
圓律之所以重要，在於它是最一般的獨立同分布矩陣模型的普適性陳述，且每當相關矩陣真正非對稱時它就是正確的虛無模型——大型隨機動力系統的 Jacobi、神經網路的連接矩陣、理論生態學中的非對稱交互作用矩陣（May 的穩定性分析：一個大型隨機生態系統唯有當其交互作用強度保持在特徵值圓盤半徑之下時才穩定）。一個注意事項：圓律描述複譜的體相且在元素分布上普適（變異數有限即足）。但它對譜半徑保持沉默——模最大的單一特徵值，它位於邊界 |z| = 1 附近卻有其自身的波動——且它要求元素真正獨立且變異數有限；對稱對之間的相關會內插向橢圓律，而重尾會破壞它。
一位理論生態學家用一個元素為變異數 sigma^2 的獨立同分布的隨機 S×S 交互作用矩陣建模 S 個交互物種，對一個穩定的對角線做擾動。特徵值填滿半徑 sigma sqrt(S) 的圓盤（圓律，經縮放）。生態系統唯有當此圓盤保持在左半平面，即 sigma sqrt(S) < 1 時才穩定：「複雜性」（大 S 或強交互作用 sigma）會使之失穩。Robert May 在 1972 年正是導出此門檻——圓律是其嚴格的骨幹。
拋棄對稱性，特徵值填滿圓盤而非直線；穩定性需要圓盤位於左半平面內。
圓律確實比半圓困難，因為非 Hermite 特徵值在擾動下不穩定（偽譜）。其證明需要控制 A_N - z 的最小奇異值，這是 Hermite 動差法從不需要的深刻輸入。