反正弦律（arcsine laws）

反正弦律是三個美麗而違反直覺的結果，描述布朗運動在區間 [0, 1] 上如何分配時間。樸素地想，一個如公正擲幣的過程，應約有一半時間為正，並在中間附近「領先」。真相恰恰相反：為正的時間、最後一次過零的時刻、以及取得最大值的時刻，都最可能落在「端點」0 或 1 附近，幾乎從不在 1/2 附近。

這三個統計量各具相同的反正弦分布，在 (0, 1) 上密度為 f(x) = 1 / (pi sqrt(x (1 - x)))，累積分布為 P(X <= x) = (2/pi) arcsin(sqrt(x))。具體地：(i) A_1 = integral over [0,1] of 1{B_s > 0} ds，即為正的時間，服從反正弦分布（李維）。(ii) 最後一次過零的時刻 L = sup{ s <= 1 : B_s = 0 } 服從反正弦分布。(iii) B 在 [0,1] 上取得最大值的時刻 theta 服從反正弦分布。密度在 0 與 1 處發散，在 1/2 處最小，所以最可能的結果是：幾乎整段時間皆為正（或幾乎皆為負）、最後過零發生得非常早或非常晚、峰值出現在開頭或結尾附近。證明源自反射原理與漂程結構；離散對應物是李維與 Sparre Andersen 的選票／隨機漫步反正弦定理。

重要性：反正弦律是經典的警告——每一步的「公平」並不帶來時間上的「平衡」——對稱的賽局以長串單側連勝為「常態」而非例外，對我們如何（錯誤地）判斷連勝連敗、基金經理人的績效紀錄、以及賭徒破產直覺，有深遠的後果。誠實的提醒：反正弦是「整條路徑」這些特定泛函的分布；它並非說 B_t 本身是反正弦（B_t 是常態）。且此結果專屬於具強馬可夫性且零集為測度零之常返集的過程——對帶漂移或其他不對稱的過程並不成立。