波茲曼因子

這也許是物理學中最有用的單一指數。一個要付出能量 E 的態，可能性小了多少？小了一個因子 e^(-E / k_B T)。代價每多出一份 k_B T 的能量，機率就被砍去一個 e 倍。這正是為何高能態在冷時稀少、在熱時卻變得常見。

在正則系綜中，一個能量為 E 之微觀態的相對機率正比於 e^(-E / k_B T) = e^(-beta E)，其中 beta = 1/(k_B T)。因此兩個微觀態機率之比為 p_1 / p_2 = e^(-(E_1 - E_2)/k_B T)。把波茲曼因子對所有微觀態求和，便得到將它歸一化的配分函數 Z。在巨正則系綜中，它推廣為吉布斯因子 e^(-(E - mu N)/k_B T)。

它主宰著範圍驚人的現象：透過阿瑞尼士（Arrhenius）因子 e^(-E_a / k_B T) 的反應速率、透過氣壓公式 e^(-mgh / k_B T) 的大氣密度、半導體載子濃度，以及自旋族群數。一個誠實的微妙處：波茲曼因子加權的是單一微觀態。要得到一個簡併度為 g(E) 之整個能階的機率，你必須乘上那個計數，g(E) e^(-E / k_B T)；簡併度與波茲曼權重共同塑造出所觀察到的分布，例如馬克士威-波茲曼速率分布。