生滅過程（birth-death process）

想像一個族群，或一個隊伍裡的人數，或忙線中的電話線數，在連續時間中一次一個地上下變動。一次到達或出生把計數推上一；一次離開或死亡把它拉下一；沒有東西一次跳兩個。生滅過程正是這樣一個計數的連續時間模型：一個活在 0, 1, 2, ... 上、只以單步上下變動的數。

它靠速率運作，而非固定時刻表。當計數處於狀態 n 時，兩個時鐘競爭：「下一次出生」以速率 lambda_n 到來（把 n 帶到 n+1），「下一次死亡」以速率 mu_n 到來（把 n 帶到 n-1），而它們像指數鬧鐘那樣無記憶地競爭——誰先響誰贏。速率可以依當前狀態 n 而定，這正是使此模型靈活之處：出生可能隨族群擁擠而變慢，死亡可能加快。一個 mu_n = 0、lambda 恆定的純出生過程，就只是向上計數的卜瓦松過程；允許死亡則讓計數能回落。這使生滅過程成為一種特殊、特別好處理的連續時間馬可夫鏈——其唯一的移動是到鄰居。

生滅過程是初等排隊與族群建模的骨幹，而它的一大恩賜是一個簡單的平衡條件：在穩態下，跨越任一邊界往上的流量與往下的流量相平衡（細緻平衡），給出每個狀態的長期機率，為速率比 lambda/mu 的整齊乘積。由此你能讀出實用的數字——隊伍為空的機率、平均等待人數、系統超載的可能性。要保持誠實的關鍵建模假設是單步、無記憶的結構：具批次到達（一輛遊覽車一次傾倒 40 位顧客）或服務時間有強記憶的真實系統，並不適合樸素的生滅框架。