轴角表示法

轴角表示法把任意朝向描述为「一次单独的扭转」：先挑一条用来旋转的直线，再说明要转多远。这条线由一个单位轴给出——一支长度为一、指向某个方向的箭头，而旋转量就是一个用度或弧度表示的角度。它依托一个简洁的事实，称为欧拉旋转定理：无论一次重新定向看上去多复杂，总可以用“绕一根固定轴的单次旋转”来复现。所以“绕竖直轴转 90 度”是一个完整的答案，而不是某种简化。

这种看法极其符合直觉，因为它正合我们平时谈论转动东西的方式：一个方向、一个量。它也很紧凑，只需要一个轴和一个数，而且让“机器人到底转了多少”可以直接读出来。人们常把轴和角折叠成一个旋转向量——一支方向即轴、长度即角度的箭头，这在数学上很方便。它的主要弱点是：在这种形式下把两次旋转合成起来很别扭，而且当角度为零时轴就失去了意义（“没有转”是谈不上方向的）。因此机器人常把轴角转换成四元数或旋转矩阵来做真正的计算，同时仍用轴角来表达诸如一条转动指令、或两个朝向之间的误差这类东西。