角動量算符（angular momentum operators）
角動量算符是使角動量量子化的機制——而且了不起的是，你僅憑它們的代數就能抽出整個能譜，完全不必解微分方程，也不必知道你面對的是軌道運動、自旋還是兩者的組合。這套代數方法是量子力學中最優雅的結果之一：三條對易關係，就掉出所有允許的 j 與 m 值。
寫下任意角動量的三個直角分量 J_x、J_y、J_z。它們不對易；而是 [J_x, J_y] = i hbar J_z 及其循環置換，這編碼了「繞不同軸的轉動不對易」這個幾何事實。由此可證 J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 與每個分量對易，故 J^2 與（比方說）J_z 可同時對角化，本徵值為 J^2 = j(j+1) hbar^2 與 J_z = m hbar。接著定義升降（階梯）算符 J_± = J_x ± i J_y；它們滿足 [J_z, J_±] = ± hbar J_±，意即 J_+ 把態的 m 往上推一階，J_- 往下推一階。因為階梯必須有終點（J_z 不能超過總量），m 從 -j 到 +j 以整數步進，逼得 j 只能是 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... 之一——整數或半整數，別無其他。
這與簡諧振子的升降算符是同一招，其影響極為深遠：它是物理學家第一個實用的李代數範例（su(2) 代數），而完全相同的對易關係，會在同位旋、夸克模型的味對稱，乃至整個粒子物理中一再出現。這個教訓很深——量子力學的許多部分，並非由位能的細節決定，而是由對稱性與生成它的算符代數所決定。
對自旋 1 系統的最高態 |j=1, m=+1> 施加降算符：J_- 把它帶到 |1, 0>，再到 |1, -1>，若再施加一次 J_- 恰得零——階梯到此為止。三階，m = +1, 0, -1，即 2j+1 = 3 個態，全都由代數推出，不需任何波函數。
升降算符僅憑對易關係，就從一個多重態生成出全部 2j+1 個態。
代數允許整數與半整數的 j，但只有整數值能由軌道角動量實現（其波函數必須是單值的球諧函數）；半整數 j 是自旋得以登場的數學之門。所以對易關係是必要條件，但單憑它們並不能決定物理上實際出現哪些值。