吸收鏈與基本矩陣（absorbing chains and the fundamental matrix）

有些狀態是陷阱：鏈一旦落入，便永不離開。吸收狀態 i 滿足 P(i, i) = 1 —— 一個攬下全部機率的自環，因此把鏈永遠吞下。吸收鏈是指每個狀態終究都能抵達某個吸收狀態。想想一場終究會結束的遊戲（你贏或你輸），或一個終究會徹底清空的隊伍。有趣的問題變成：我們會掉進哪個陷阱，以及在那之前先遊蕩多久？

把狀態整理成暫態的（終究會離開的）與吸收的。以分塊寫出，轉移矩陣有一個 Q 塊，描述暫態到暫態的移動。核心物件是基本矩陣 N = (I - Q)^(-1)，即單位矩陣減 Q 的逆。它的元素 N(i, j) 是從暫態 i 出發、在被吸收前造訪暫態 j 的期望次數。一切都從 N 流出：從狀態 i 出發到被吸收前的期望步數，是 N 的第 i 列之和；而被吸收進各吸收狀態的機率，由 N 乘 R 給出，其中 R 是暫態到吸收的分塊。

為什麼是逆矩陣？N = I + Q + Q^2 + Q^3 + ... 是一個矩陣的幾何級數，數的是第 0、1、2... 步的造訪，而它之所以恰好加總為 (I - Q)^(-1)，正是因為鏈是暫態的，Q 的冪縮向零。這單一矩陣把難題 —— 期望遊戲長度、各參賽者獲勝的機會、期望滅絕時間 —— 化為一次矩陣求逆。吸收鏈分析無處不在：賭徒破產、分支過程滅絕、醉漢走向牆壁，以及無數遊戲的「這要花幾回合？」。