賭徒破產問題（gambler's ruin）

一位賭徒帶著一些錢走進賭場，每次下注一美元賭一場遊戲，每一局贏或輸一美元。他只在破產或達到目標財富時才停手。問題是永恆的：他在破產之前命中大獎的機會有多大，遊戲又會持續多久？這就是賭徒破產問題，它是裝上了兩道牆的簡單隨機漫步。

把它清楚地設定起來。賭徒以 i 美元出發，一直玩到達到 0（破產）或 N（目標）為止。每一局他以機率 p 贏 1、以機率 q = 1 - p 輸 1。位置是 {0, 1, ..., N} 上、兩端為吸收障壁的隨機漫步 —— 一旦撞上 0 或 N 你就停。對「公平」遊戲（p = q = 1/2），在破產之前達到目標 N 的機率就是簡單的 i/N —— 漂亮地正比於你已經走了多少路。對不公平的遊戲，公式變成 (q/p) 各次方的比值，而當 N 很大時，即便極小的莊家優勢也使破產近乎確定。公平遊戲的期望持續時間是 i(N - i)，可能出奇地長。

這個教訓既發人深省又精確。面對一個略為不利的遊戲（賭場的優勢），若你持續朝固定目標下注，破產的機率是壓倒性的 —— 莊家優勢在許多次下注中無情地複利累積。即便在完全公平的遊戲中，若你對上一個資金遠多於你的對手（想想賭場，即 N - i 巨大），你贏走全部的機會也微乎其微，因為你很可能先撞上自己的零。這個問題是過程理論的基石：它是命中機率、吸收障壁與首次通過分析的原型，並直接連接到鞅與最佳停止。