適定性（well-posedness）

適定性是阿達馬（Hadamard）提出的一份檢查清單，用來界定一個數學問題要怎樣才算是值得信賴的現實模型。一個問題若勾選了三個方格就是適定的：解存在、解唯一、且解連續地依賴於資料（初始條件與參數）。若三者中任何一個失敗，這問題就稱為不適定，你就該對它的答案多加提防、別過度解讀。

每一條都當之無愧。存在性意味著模型沒有強人所難——確實有一個與定律和起點相容的未來。唯一性意味著定律和起點真的決定了那個未來，所以答案不是在幾個對手之間擲銅板。連續依賴意味著答案是穩健的：既然真實的初始資料總帶著某種測量誤差，一個輸出會因微小輸入改變而劇烈擺盪的模型，無論在紙上多麼精確，對預測都毫無價值。對常微分方程的初值問題，利普希茨條件下的皮卡－林德洛夫定理一次交付全部三者——存在、唯一、以及（透過格朗沃爾估計）連續依賴——所以這類問題是局部適定的。

誠實的微妙之處在於，適定並不等於容易、也不等於永遠穩定。一個混沌系統可以完全適定——存在、唯一、連續依賴在每個有限區間上都成立——卻在長期上實際不可預測，因為那個連續性常數隨時間呈指數惡化。而許多真正重要的問題，例如把熱方程往時間倒著跑，或從帶噪的效應重建一個原因，都是不適定的；它們並非無稽，卻正因為樸素的答案不連續依賴於資料，才需要特殊的正則化技術。