維塔利定理（Vitali's theorem）
/ vee-TAH-lee /
假設你有一列有界的全純函數（故蒙泰爾保證有收斂的「子序列」），但你真正想知道的是「整列」收斂，而不只是某個子序列。一般而言，有界序列可以有許多趨向不同極限的子序列。維塔利定理給出一個極為便宜的方法來排除這點：若一列局部有界的全純函數僅在一個小小的「見證」集合上收斂——一個在定義域內部有極限點的集合——則它在整個定義域上收斂。
嚴格地說：設 f_n 在連通區域 D 上全純且在那裡局部有界。假設 f_n(z) 對 D 的某個子集 E 中的每個 z 都（作為數列）收斂，其中 E 至少有一個落在 D 內的聚點。則 f_n 在整個 D 上局部一致收斂，且其極限全純。證明是蒙泰爾與恆等定理的聯姻：由蒙泰爾該族正規，故任兩個收斂子序列都有全純極限；那兩個極限在有聚點的 E 上相符，故由恆等定理它們在 D 上處處相符。既然每個子序列都有相同的極限，整列收斂。一個方便的特例是：在一個微小圓盤上、甚至僅在一條收斂的弧上收斂，已經迫使處處收斂。
維塔利定理是把「子序列」緊性提升為真正收斂的工具，也是證明全純函數的迭代或擾動方案確實有極限的標準方法。它也是一個偽裝的剛性敘述：全純函數被如此緊密地決定，使得極限在一個稀薄集合上的相符會全域傳播。誠實的提醒：見證集 E 必須在定義域「內」有聚點——僅在一列逃向邊界的點上、或在無聚點的孤立集上收斂並不夠。而局部有界是本質的；沒有它蒙泰爾失效，結論可能崩潰。
設 f_n 在單位圓盤上全純且被 1 所界，並假設 f_n(1/k) 對每個 k = 1, 2, 3, ... 都收斂。點 1/k 在 0 處聚集，而 0 落在圓盤內，故維塔利定理說 f_n 在整個圓盤上局部一致收斂——即使我們只在一列收縮的實點上檢驗了收斂。
在一個於內部有極限點的集合（此處 1/k）上的收斂會傳播到整個連通定義域。
見證集必須在定義域的內部點聚集；孤立點或僅在邊界聚集的集合都不行。本定理依靠蒙泰爾（局部有界）加恆等定理，故也要求定義域連通。