向量在另一向量上的投影（projection of one vector on another）

把一根棍子在陽光下立起，它在地面投下影子；那影子是棍子沿著地面方向的那一部分。把一個向量投影到另一個上是同樣的想法：給定向量 a 與 b，a 在 b 上的投影是 a 在 b 方向上的「影子」——a 有多少是順著 b 走的。它回答的是「這個推力有多少沿著斜坡作用？」這類問題。

有兩種輸出，把它們分清楚會有幫助。純量投影（a 沿 b 的分量）是一個有正負號的數：comp_b a = (a . b) / |b| = |a| cos theta，其中 theta 是兩者夾角。當 a 傾向 b 時為正，傾離 b 時為負。向量投影則是把這個長度帶到 b 的真實方向上——把純量投影乘上單位向量 b-hat：proj_b a = ((a . b) / |b|^2) b。注意純量版用 |b|、向量版用 |b|^2；多出來的 |b| 來自轉換為單位向量 b-hat = b / |b|。一個漂亮的副產品：a 可乾淨地拆成沿 b 的部分與垂直於 b 的部分，即 a = proj_b a + (a - proj_b a)，其中第二塊與 b 正交。

投影是把向量「分解」到有用方向的引擎——把力分解成沿斜面與橫越斜面的分量，或求直線上離某點最近的點。它完全由內積建成，因此承襲了內積對角度的敏感。經典錯誤是忘了方向要緊：把 a 投到 b 上與把 b 投到 a 上，一般給出不同答案，因為各自量度的是不同方向上的影子長度。要仔細讀「把 a 投影到 b 上」——第二個向量指出你正投射到的方向。