點到平面的距離（distance from a point to a plane）
一隻蒼蠅離桌面有多遠？不是沿某條斜路，而是直直往下——可能的最短間距。點到平面的距離正是那段最短距離，沿著從該點垂落到平面的垂線量度。從該點到平面的任何其他路徑都更長，所以這段垂直距離才配得上「那個距離」之名。
求它的乾淨辦法用平面的法向量。把平面寫成 Ax + By + Cz = D，其法向量為 n = (A, B, C)。對點 P_0 = (x_0, y_0, z_0)，距離為 dist = |A x_0 + B y_0 + C z_0 - D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。為何成立？在平面上任取一點 Q；P_0 到平面的距離就是向量 QP_0 在單位法向量 n-hat 上投影的長度。該投影為 (QP_0 . n) / |n|，以座標寫開便收斂成上面的公式。分子不過是「把點代入平面方程式，看離零有多遠」；分母把法向量正規化成單位長度；絕對值丟掉正負號（你在哪一側），只留下非負的距離。
這條公式是每天的工具：工程中的間隙檢查、求平面上最近的點，以及點到線、歪斜線間距離的基礎積木。一個常見失誤是忘了除以法向量的長度——若 (A, B, C) 不是單位向量（通常不是），略去 sqrt(A^2 + B^2 + C^2) 會給出錯誤且隨尺度而變的答案。另一個是丟掉絕對值：距離絕不為負，不過有號版本（不加絕對值）在你在乎點落在平面哪一側時本身也很有用。
P_0(1, 2, 3) 到平面 2x - y + 2z = 5 的距離：分子 |2(1) - 2 + 2(3) - 5| = |2 - 2 + 6 - 5| = |1| = 1；分母 sqrt(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(9) = 3。故距離為 1/3。原點到同一平面：|0 - 0 + 0 - 5|/3 = 5/3。
把點代入方程式，再除以法向量的長度。
永遠要除以 sqrt(A^2 + B^2 + C^2)——那個分母才使答案成為真正的垂直距離，而非一個會隨平面方程式縮放而改變的數。光是分子並不是距離。