向量－矩陣形式（vector-matrix form）

把比方說四條方程的方程組完整寫出來，既累人又掩蓋了規律。有一種遠為整潔的記法，把整隊方程壓進一行，就像「A x = b」把滿頁的線性代數運算壓成三個符號一樣。對線性方程組來說，全部威力都藏在這個緊湊形式裡。

把未知函數疊成一個行向量 x = (x1, …, xn)，把它們的導數疊成 x' = (x1', …, xn')。當每條方程對未知函數都是線性的，右邊就能整理成一個係數矩陣 A 乘以向量 x，再加上一個由不含任何未知函數的項組成的行向量 g(t)。整個方程組於是寫成 x' = A x + g(t)。這裡 A 是一個 n×n 矩陣（它在第 i 列、第 j 行的元素，就是第 i 條方程中 xj 的係數），而 g(t) 是強迫項或輸入向量。如果 A 的元素是不依賴於 t 的數，這個方程組就是常係數的，也就是最常被求解的情形。如果 g(t) = 0，方程組就是齊次的。

這一行不只是簡寫。一旦方程組寫成 x' = A x 的形式，解的行為就由 A 的代數性質，也就是它的特徵值與特徵向量，所支配，於是數十年累積的線性代數結果忽然全都派上用場。向量－矩陣形式正是那道門，特徵值方法、基本矩陣與幾何相平面圖景，全都由此進入。