聯集界（布爾不等式，union bound）

如果你擔心好幾件壞事可能發生，一個粗糙卻極其有用的估計是：其中至少有一件發生的機率，不超過它們各別機率的總和。若三個零件各以 1% 的機率故障，則有東西故障的機率至多 3%。這條「把風險加起來」的簡單規則就是聯集界，又叫布爾不等式。

精確地說：對任意事件 A_1, A_2, ..., A_n（不需獨立，也不需互斥），P(A_1 or A_2 or ... or A_n) <= P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n)。為什麼是不等式而非等式？因為若某些壞事重疊，把它們的機率相加會重複計算重疊區域，所以聯集的真實機率只會更小。等號恰在事件互斥時成立（沒有重疊可重複計算）。它直接源自排容原理，只保留第一層、正的那一項，丟掉所有修正項。

儘管粗糙，聯集界是機率論證中最強大的工具之一。經典手法：要證明 n 個罕見壞事一個都不發生，把每個的機率界定為 delta/n；接著聯集界把總失敗機率封頂在 n 乘以 delta/n = delta。這就是你如何把對單一項目的保證，轉成對許多項目同時成立的保證——這是對大假設類的泛化界、多重檢定校正、以及對整個演算法的高機率敘述之根基。代價是：當有許多高度相關的事件時，把它們的機率相加可能嚴重高估，使界變得非常鬆。