超雙曲型（ultrahyperbolic type）

熟悉的三元組——橢圓型、拋物型、雙曲型——只有在兩個自變數時才是完整的故事，那時一個數字（判別式）就把一切分類。在三個或更多變數時，悄悄出現了第四種可能，它沒有兩變數的對應物：超雙曲型。當一個方程同時在多於一個類時間方向上像波那樣行為時，這個型別就出現了。

要在多變數時分類，你看二階係數矩陣，並數它特徵值的正負號（它的符差）。橢圓型表示所有特徵值同號（拉普拉斯算子 u_xx + u_yy + u_zz + u_ww，全為正）。雙曲型表示恰有一個正負號與眾不同——一負其餘皆正，如波動算子 u_tt - u_xx - u_yy - u_zz，只有單一個類時間方向。超雙曲型則是剩下的情形：每種符號都有兩個或更多特徵值，且沒有一個為零——例如四變數中像 u_tt + u_ss - u_xx - u_yy 這樣的算子，它有兩個正號與兩個負號。兩個變數時不存在這樣的東西，因為兩個特徵值至多給出各一個正負號（那就只是雙曲型）。

超雙曲型方程與其說是日常的主力，不如說是數學上的奇珍，但它們確實富有教益。經典的事實（阿斯蓋爾松平均值定理）是：對它們而言，樸素的初始值問題一般是不適定的——你無法自由地指定柯西資料並期望解存在且連續依賴於它，這生動地提醒了適定性與型別緊緊相繫。它們確實出現在真實場景中——例如在積分幾何與斷層掃描裡，X 光／約翰轉換就滿足一個超雙曲型方程。要帶走的教訓是：三分法是兩變數時的方便；誠實而一般的陳述是按符號的符差來分類，而超雙曲型正是兩變數圖像看不見的情形。