用符號分類（classification by the symbol）
判別式 B^2 - AC 是頂奇妙的分類帽，但它只對兩個變數有效。真實世界動輒有三個空間維度加上時間，所以你需要一個不在乎有幾個變數的分類器。那個分類器就是被讀作二次型的主符號：數它特徵值的正負號，你就在任意維度下說出了型別。這是三分法的成熟版。
對 n 變數中的二階算子，主符號是一個二次型 xi 轉置乘以 A 乘以 xi，其中 A 是首項係數的對稱矩陣（A_{ij} 坐落在 u_{x_i x_j} 項上）。把 A 對角化，看它特徵值的正負號。橢圓型：所有特徵值同號（二次型是定的）——拉普拉斯算子 u_xx + u_yy + u_zz，全為正。拋物型：一個特徵值為零，其餘共享一個正負號（二次型退化但半定），正是熱算子的情形，其中時間方向不貢獻二階導數。雙曲型：所有特徵值非零，恰有一個與其餘異號（一負其餘皆正），如波動算子 u_tt - u_xx - u_yy - u_zz。還有兩變數圖像顯示不出的情形：超雙曲型，每種符號有兩個或以上特徵值且無一為零。
這就是為什麼符號才是型別誠實而一般的定義——兩變數的判別式只是 n = 2 的特例，其中 2×2 對稱矩陣的特徵值正負號編碼在 det(A) = AC - B^2 之中，而它的正負號與判別式相反。一旦你用符號分類，一切都推廣開來：任意維度的橢圓型算子都平滑化並要邊界資料，雙曲型以有限速度傳播並要柯西資料，拋物型則擴散。兩個誠實的提醒：在變係數時，特徵值的正負號可能逐點改變（混合型）；而這個乾淨的特徵值判準是針對二階算子的分類——更高階算子需要更一般的定義，即橢圓型意指主符號只在 xi = 0 時為零。
對 u_tt - u_xx - u_yy - u_zz = 0（3+1 維波動方程），主符號的係數矩陣是對角的，元素為 (1, -1, -1, -1)：一正三負——恰好一個異號——所以這方程在四變數中是雙曲型，正如判別式在兩變數時所會說的那樣。
超過兩變數時，數主符號矩陣的特徵值正負號：全同號＝橢圓，一個異號＝雙曲，一個為零＝拋物，每種好幾個＝超雙曲。
兩變數的判別式 B^2 - AC 只是這個特徵值判準的偽裝（對 2×2 矩陣，特徵值正負號編碼在 AC - B^2 之中）；符號才是一般的、與維度無關的陳述，也是在三個或更多變數時唯一正確的分類方式。