三次曲面上的二十七條直線（the twenty-seven lines on a cubic surface）

取射影 3 空間中由單一三次方程截出的光滑曲面。凱萊與薩蒙於 1849 年發現的一個令人驚訝且精確的事實是：這樣的曲面恰好包含二十七條完全落在其上的直線——不多不少。這個數不是近似的，也不是「一般情形」：代數封閉域上每個光滑三次曲面都恰有 27 條直線。這是計數幾何最著名的小奇蹟之一，是「代數幾何能何等剛硬而組合」的一個自足例子。

具體地，落在曲面 V(F)（F 為三次型）上的 P^3 中一條直線會施加條件：把直線參數化並要求 F 沿之恆為零，這逼使所得「參數的三次式」的係數為零。在 P^3 中直線的格拉斯曼流形（4 維）上對這些條件作維數計數，顯示期望的數目有限，而仔細的分析把光滑三次曲面的情形釘在恰好 27。最乾淨的現代觀點把光滑三次曲面實現為射影平面在六個一般位置點處的爆破；27 條直線於是被優美地計為：那六個爆破點之上的 6 條例外曲線、過那些點之兩兩配對的 15 條直線、以及過其中五點的 6 條圓錐曲線——即 6 + 15 + 6 = 27。它們的相交模式帶有一個龐大的對稱群，即根系 E_6 的外爾群，階為 51840。

除了其魅力，27 條直線開啟了對三次曲面、德爾佩佐曲面，以及「例外李理論對稱（E_6）如何在幾何中浮現」的系統研究，它們也是現代交截與計數理論的歷史種子。誠實的提醒。這個數恰好是 27 唯有對代數封閉域上的光滑三次曲面：在實數上，依曲面不同，直線可以是 27、15、7 或 3 條，而奇異三次曲面有更少的直線（錐面是一種極端退化）。且六個爆破點的「一般位置」是貨真價實的條件——無三點共線、六點不全在一條圓錐曲線上——沒有它，優雅的 6 + 15 + 6 記帳便退化。