貝祖定理（Bézout's theorem）
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一條直線與拋物線相交於兩點，一條直線與三次曲線相交於三點，兩條圓錐曲線相交於四點。這裡有個美妙簡單的模式：兩條平面曲線的交點數等於它們次數的乘積。貝祖定理使這精確——但唯有在你做了三件誠實的事之後：在射影平面中工作（以捕捉無窮遠處的交點）、使用代數封閉域（使那些點真正存在）、並把每個交點按其重數計數（使相切被正確加權）。
精確地說：設 C 與 D 是代數封閉域上的平面射影曲線，次數分別為 m 與 n，且無公共分量。則交點的總數（每個按其交截重數計）恰好是 mn：對各點 p 求和 I_p(C, D) 等於 mn。三項修正全都必要，且每一項都修補了天真計數失敗的一種方式。在 P^2 而非 A^2 中工作提供了無窮遠點（兩條各為 1 次的平行線在一個無窮遠點相交，恢復 1 x 1 = 1）。代數封閉保證根存在（在 R 上「錯過」的直線與圓會在複點相交）。而重數使直線與圓錐曲線的相切算作 2 而非 1，故直線-圓錐曲線的總數是正確的 1 x 2 = 2。
貝祖是計數幾何（按次數計數幾何構型）的原型，也是「光滑平面三次曲線有九個反曲點」與曲線射影對偶等事實背後的引擎。它可推廣：P^n 中次數為 d_1, ..., d_n 的 n 個正常相交超曲面，按重數相交於 d_1 x ... x d_n 個點，即高維貝祖。誠實的提醒。「無公共分量」的假設並非可有可無——兩條共有分量的曲線相交於無窮多點，定理對此隻字不提。等式唯有三項修正全部到位才精確；去掉射影性、封閉性或重數，你頂多得到一個不等式，而乾淨的數 mn 便瓦解了。
一條直線（1 次）與一條光滑圓錐曲線（2 次）應相交於 1 x 2 = 2 點。割線在兩個相異點切開圓錐曲線；切線在一點相觸但重數為 2；而在 R 上錯過圓錐曲線的直線仍在兩個複點相交。在每種情形下，於 C 上的 P^2 中計數恰好是 2。
射影 + 代數封閉 + 按重數計數，使交點數恰好是次數的乘積。
等式 mn 需要三者齊備：射影平面、代數封閉域與重數，外加無共有分量。有公共分量的曲線相交於無窮多點，定理不適用。