拓樸最佳化（topology optimization）

交給設計師一塊金屬、它必須承受的載荷，以及它被栓固的點，然後問：材料該放在哪裡，才能讓零件盡可能又硬又輕？人的直覺給出合理的形狀，但真正最佳的那個往往出人意表——充滿有機的孔洞與分岔的支柱，像骨頭一樣。拓樸最佳化就是讓數學決定材料該在何處、又可在何處被刨去，藉此找出這類形狀的計算方法。

訣竅在於把一個離散的「是或否」問題（這裡有材料還是空的？）變成一個連續最佳化器能咀嚼的東西。你用一張小元素的網格填滿設計區域，給每個指派一個介於 0（空）與 1（實）之間的密度變數。然後你設立一個最佳化：在總材料有預算的限制下，把像結構柔度（它在載荷下偏移多少）這樣的成本最小化。每次評估都需要一次有限元素模擬，以計算當前設計如何變形，而且關鍵地，還需要成本對每個元素密度的梯度，這由伴隨法高效供給（它是自動微分的表親，大約多解一次就能得到所有那些導數）。接著一個基於梯度的最佳化器把密度往下坡推，一個過濾步驟把模糊的中間密度推向乾淨的實或空，重複到布局穩定為止。

拓樸最佳化，常以生成式設計為名行銷，如今塑造輕量化的飛機托架、積層製造（3D 列印）零件、散熱片，甚至建築結構，動輒削減數十個百分點的重量。誠實的告誡：結果取決於所選的目標、限制與網格解析度，因此不同的問題陳述給出不同的「最佳」形狀；問題一般是非凸的，所以你找到的是一個好的局部最佳，而非有保證的全域最佳；而原始輸出通常需要清理才能製造。它是一個強大的構想產生器，而非自動吐出唯一真設計的神諭。