三線定理（three-lines theorem）

三線定理是針對鉛直帶的最大原理一個精確、定量的精煉。想像一個定義在複平面中兩條鉛直線之間帶狀區域上的函數。你知道它在左緣與右緣上能有多大。三線定理告訴你它在中間任何一條鉛直線上能有多大——而答案是一個乾淨、可預測的內插：最大值是兩個邊緣最大值的「對數凸」混合。它是一個帶有精確內部界的最大原理，而非僅僅一條不等式。

敘述如下。設 f 在帶 a <= Re z <= b 上解析且有界。設 M(x) 表示 |f(z)| 沿鉛直線 Re z = x 的上確界。定理說 log M(x) 是 x 的凸函數。具體地說，對 a <= x <= b，M(x) <= M(a)^((b - x)/(b - a)) * M(b)^((x - a)/(b - a))——中間線上的界是兩個邊緣界的加權幾何平均，權重由 x 離各邊緣的遠近給出。證明是把弗拉格門-林德勒夫套用於輔助函數 f(z) M(a)^((z - b)/(b - a)) M(b)^((a - z)/(b - a))，巧妙地選取使它在兩緣上以 1 為界；最大原理（以弗拉格門-林德勒夫形式，因帶無界）便給出處處以 1 為界，展開後即得所述不等式。

這個定理是複內插理論的分析核心：里斯-索林內插定理（讓你由一個算子在兩對 L^p 空間之間有界，推得它在所有中間對之間有界）本質上就是三線定理的化身。它也是在臨界帶中估界ζ函數與狄利克雷級數的標準工具。一個誠實的提醒：「log M(x) 為凸」才是精確內容——而非「M(x) 為凸」（後者一般而言為假）。而 f 在帶上的有界性是貨真價實的假設；去掉它你就掉回弗拉格門-林德勒夫的世界，那裡無窮處不受控的增長會毀掉結論。