黎曼ζ函數（Riemann zeta function）
/ REE-mahn ZAY-tuh /
黎曼ζ函數乍看之下是一個無害的無窮和：zeta(s) = sum over n >= 1 of 1/n^s = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...。你早已不具名地見過它的特殊值——zeta(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ... = pi^2/6 是巴塞爾和，而調和級數是 s = 1 的發散情形。新意在於把指數 s 當成一個複變數。對 Re s > 1，此級數絕對收斂並定義出一個全純函數；那個收斂級數是入口，而非全部故事。
歸功於黎曼的深刻一步是解析延拓：儘管級數只在 Re s > 1 上收斂，它所定義的函數能「唯一」地延拓成一個在整個複平面上全純的函數，唯一例外是在 s = 1 處的單極點（留數為 1，反映調和級數的對數發散）。一旦延拓，zeta 處處有值：zeta(0) = -1/2，zeta(-1) = -1/12，zeta(-2) = 0，依此類推。這些是延拓後函數的貨真價實的解析值，「不是」發散級數的和；著名的「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」只是 zeta(-1) = -1/12 的鬆散簡寫，並非字面上的求和。
為何這一個函數能引起如此關注？因為經由歐拉乘積，zeta 暗中編碼了質數，而它的複零點掌控著質數如何分布。質數定理、質數計數函數的精細結構，以及至今未解的黎曼猜想，全都住在 zeta 之內。它是解析數論的奠基對象，可說是數學中被研究得最多的函數。從某種意義上說，這整個領域研究的，正是為何一個寫成複數的指數能解開整數之謎。
對 Re s > 1，級數是具體的：zeta(3) = 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.2020569...，即 Apery 常數（1978 年證明為無理數）。在 s = 2 處和恰為 pi^2/6。但在 s = -1 處求「延拓後」的函數值，你得到 zeta(-1) = -1/12——這個值是原級數（那裡讀作 1 + 2 + 3 + ...）絕不可能靠求和產生的。
zeta(s) = sum 1/n^s 僅對 Re s > 1 成立；像 zeta(-1) = -1/12 這樣的值屬於延拓後的函數，而非發散級數。
zeta 恰好有一個奇點——在 s = 1 處的單極點；其餘各處全純。在 s = -2, -4, -6, ... 處的「平凡零點」是延拓後函數的真正零點，並非發散級數的人為產物。