施瓦茨-米爾諾引理（Švarc-Milnor lemma）
/ SHVARTS MILL-nor /
這是幾何群論的奠基奇蹟：若一個群作用於某空間的方式，就像鋪磚的對稱作用於平面那樣——把東西移動得夠自由又夠緊密——那麼這個群作為抽象對象，就與它所作用的空間有相同的大尺度形狀。施瓦茨-米爾諾引理把這點說精確。它說「幾何地」作用於良好空間的群與該空間擬等距。正是它讓你能從群所居住的任何空間讀出它的粗幾何，根本看不到生成集。
設定：設 G 透過等距作用於一個真（閉球緊）且測地的長度空間 X。稱該作用為幾何的——等價地「真不連續且餘緊」——若兩條件成立：(1) 餘緊，意指商 X/G 緊，故任一點的軌道粗略就是整個空間（存在一個緊集，其 G 平移覆蓋 X）；(2) 真不連續，意指對任何緊集 K，只有有限多個群元素 g 使 gK 與 K 相交，故作用不堆積。結論：G 有限生成，且對 X 中任一基點 x，軌道映射 g -> g.x，從帶字度量的 G 到 X，是擬等距。所以 G 與 X 在大尺度下相同。
正是這條引理，使幾何能對代數說出任何話。緊黎曼流形的基本群幾何地作用於萬有覆疊，所以 pi_1 與萬有覆疊擬等距——例如緊雙曲曲面的 pi_1 與雙曲平面擬等距，這就是你如何知道曲面群是雙曲的。它也證明字度量在擬等距意義下良定義（把它用於作用在自己凱萊圖上的群）。假設並非裝飾：真性與餘緊性合起來是必要的。去掉餘緊性，軌道可能是 X 的一條細片，給不出擬等距；去掉真不連續性，群甚至未必離散。作用必須既處處鋪開（餘緊）又離散（真不連續）。
群 Z^2 透過整數平移作用於平面 R^2。此作用是等距的，是餘緊的（商是環面，緊，且單位正方形的平移覆蓋平面），且是真不連續的（只有有限多個整數向量把有界集移動到與自身重疊）。由施瓦茨-米爾諾，Z^2 與 R^2 擬等距——確實，Z^2 上的字度量（計程車度量）與歐氏平面擬等距。離散群與連續平面共享同一個大尺度幾何。
Z^2 以平移作用於 R^2 是幾何的，所以 Z^2 與 R^2 擬等距。
兩個假設都承重。沒有餘緊性，軌道可能錯過空間的大部分；沒有真不連續性，群未必離散或有限生成。僅僅等距的作用遠遠不夠——它必須是幾何的。