群的增長（growth of groups）
從群的單位元出發，問：用生成元最多走 n 步能到達多少個群元素？隨著 n 增大，這個計數也增大，而它增長的速度是群的深刻指紋。群的增長衡量可及元素數目隨半徑擴張的快慢。計數像多項式般增長的群，行為與計數呈指數爆炸的群截然不同。
固定帶有限生成集 S 的有限生成群 G。增長函數是 beta(n) = 字長 |g|_S <= n 的群元素 g 的數目；等價地是凱萊圖中半徑 n 的球的頂點數。增長型把 beta 在 n -> 無窮時的行為分類，標準的三分法是：多項式增長，beta(n) 上下都被 n 的冪界住（如某 d 的 n^d）；指數增長，beta(n) 像某 a > 1 的 a^n 般增長；以及介於兩者之間的中間範圍。Z^d 有恰好 d 次的多項式增長（計程車度量下半徑 n 的球約含 n^d 個點）。兩個生成元的自由群有指數增長——每步你大約有 3 個新選擇，故 beta(n) 約為 3^n。增長型不依賴生成集：換 S 只在一個擬等距內重新縮放 beta，所以多項式對指數是真正的不變量。
增長是一個強大而出奇剛性的不變量。格羅莫夫的多項式增長定理是里程碑結果：有限生成群有多項式增長，當且僅當它幾乎冪零——它含一個有限指數的冪零子群。這令人驚訝，因為一個純幾何的計數條件（球增長多快）強制出一個精確的代數結構（差有限指數的冪零性）。另一面，不是幾乎循環的雙曲群有指數增長。微妙而誠實的一點是中間地帶：格里戈丘克構造了中間增長的群——比每個多項式快卻比每個指數慢——解決了米爾諾的一個問題，顯示三分法是真的，中間情形確實發生。所以「所有群非多項式即指數」是錯的。
比較兩個群。在帶標準生成元的 Z^2 中，半徑 n 的球是一個含 2n^2 + 2n + 1 個點的菱形——多項式 2 次的增長，與其維數相符。在自由群 F_2 中，半徑 n 的球有 1 + 4(3^n - 1)/2 個元素——半徑 0 時有 1 個，半徑 1 時有 5 個，此後每步把新邊界乘以約 3——指數型增長。前一個群幾乎冪零（實則交換）；後者有指數增長，故不可能如此。
Z^2 多項式增長（2 次）；自由群 F_2 指數增長。
並非每個群非多項式即指數。格里戈丘克群有中間增長——嚴格介於每個多項式與每個指數之間——故二分法失效；只有多項式增長有乾淨的代數刻畫（由格羅莫夫，幾乎冪零）。