雙曲群（hyperbolic group）

有些群的行為像負彎曲世界的對稱——像有許多把手的曲面的基本群，或自由群，那裡一切都散開，沒有大片平坦區域。雙曲群是一個有限生成群，其幾何（透過凱萊圖來看）在大尺度意義下負彎曲。這些群既是理解得最透徹的無限群類，也是「典型」的那一類，並有演算法上馴服的結構。

定義把格羅莫夫雙曲性從空間搬到群。有限生成群 G 是雙曲的，若它的凱萊圖（關於某個、等價地任一個有限生成集）是格羅莫夫雙曲度量空間——其測地三角形一致地 delta 細。因為空間的雙曲性是擬等距不變量，而不同生成集給出擬等距的凱萊圖，這不依賴所選生成元，故「雙曲」是群本身的性質。等價地，G 雙曲恰當它幾何地作用於某格羅莫夫雙曲空間（透過施瓦茨-米爾諾引理）。自由群、虧格 >= 2 的曲面群，以及緊負彎曲流形的基本群都雙曲；Z^2 不是，因為它的格網凱萊圖有任意肥胖的三角形。

雙曲群行為出奇良好。它們有線性時間可解的字問題與可解的共軛問題——戴恩演算法行得通，因為瘦三角形強制任何表示單位元的字含有可縮短的某定義關係子的一大塊。它們的撓元只有有限多個共軛類，是有限呈現的，並承載一個其拓樸約束它們的無窮遠邊界。兩個誠實的告誡。其一，雙曲是大尺度的粗性質：它對有限群結構毫無斷言，且在過渡到有限指數子群或對有限正規子群取商下不變。其二，Z^2 以及更一般地任何含 Z^2 副本（一個「平坦」）的群都不雙曲——嵌入的大平坦的存在正是雙曲性所禁止的，所以雙曲與內含 Z + Z 不相容。