順從性（amenability）

你能否在一個無限群上鋪開一個公平、有限可加的「群的比例」，使它在你用群元素平移一切時不變？對有限群這是平凡的——用元素的比例即可。對無限群這是真問題，答案為是的群稱為順從的。順從性是「馴服」群（平均行為合理）與「狂野」群（如自由群，平均災難性地崩潰）之間的深刻分界線。

有許多等價定義；兩個最有用。(1) 不變平均：G 順從，若 G 全體子集上存在一個有限可加的機率測度 mu，左不變，對每個 g 與每個子集 A 有 mu(gA) = mu(A)——一種給每個子集賦予「[0,1] 中大小」、與平移相容的方式。(2) 弗爾納條件：G 順從，若存在幾乎不變的有限子集 F_n，意指對每個生成元 s，對稱差 |s F_n triangle F_n| / |F_n| -> 0——邊界相對於主體很小的集合，故它們在乘法下幾乎不動。這些弗爾納集是幾何核心：順從性說群有邊界與體積比趨於零的子集。有限群、交換群，以及更一般地所有次指數增長的群都順從，且順從性在子群、商、擴張與遞增聯集下保持。

順從性恰是矛盾分解的障礙。群非順從，當且僅當它容許矛盾分解——它能被切成有限多片，這些片經群元素重排後形成它自身的兩個副本，這正是巴拿赫-塔斯基悖論背後的代數引擎。自由群 F_2 非順從且矛盾，這是巴拿赫-塔斯基的根源。蒂茨二擇一說有限生成線性群要嘛含自由子群 F_2（因而非順從）要嘛幾乎可解（因而順從），但此二擇一是線性群特有的：誠實的告誡是「非順從」嚴格比「含自由子群」更一般——存在完全不含自由子群的非順從群（馮諾依曼-戴伊問題，由奧爾尚斯基與阿迪安解決）。所以一般而言切勿把順從性等同於不含自由子群。又注意：順從性並非以人們可能期望的天真方式為擬等距不變量，儘管對有限生成群它在擬等距下不變。