支撐超平面（supporting hyperplane）

把一把平直的尺靠在圓的外側。它恰好在一點觸碰，而整個圓都落在尺的同一側——尺從不切進圓盤裡。把一塊平板靠在任何凸團塊上，同樣的事情會發生：它親吻著邊界，同時讓整個團塊保持在一側。那塊觸碰的平面就是支撐超平面。在二維中它是支撐「線」，在三維中是支撐「平面」，而在更高維中一般用語是超平面。

精確地說：一個超平面 H 在凸集 C 的邊界點 P 處支撐 C，若 P 落在 H 上「且」C 的全部都落在 H 所界定的兩個閉半空間之一。換言之 H 觸碰 C（在 P，也許沿著一整個平面的面），但從不切過它的內部；C 完全坐在一側。核心定理——支撐超平面定理——保證凸集的「每一個」邊界點都至少有一個支撐超平面。在平滑的邊界點它是唯一的（即切線），但在角點（如正方形的頂點），則有無窮多條支撐線扇形地穿過那個角，這完全是被允許的。與之密切相關的是分離超平面定理：兩個不相交的凸集總能被一個超平面乾淨地分開，各佔一側。

這是一系列驚人結果背後的幾何引擎。在最佳化中，最佳解處的支撐超平面替約束「定價」（即拉格朗日乘子與對偶的語言）；在機器學習中，分離超平面正是支援向量機為了分開兩類資料而尋找的東西；在經濟學中它支撐著第二福利定理。誠實的提醒：支撐超平面是「凸」集所特有的特徵。在非凸形狀的凹陷處，這種從外側觸碰的平面並不存在，因為任何穿過凹邊界點的平面都必然切進區域裡——這又是凸性如此受珍視的一個理由。