多胞形（polytope）

多邊形是帶直邊的平面形狀——三角形、五邊形。多面體是它在三維的表親，帶平面的面——立方體、角錐。多胞形把同樣的想法帶進任意維數：一個由平直部件圍成的形狀。在二維中多胞形是多邊形，三維中是多面體，四維及以上則是「多胞體」或簡稱 n 維多胞形。它是最基本的平直邊形狀在高維中的自然歸宿。

要釘住一個（凸）多胞形有兩種等價的方式，而它們的等價是一樁小小的奇蹟。第一種由外而內：多胞形是一組有限線性不等式的解集——用有限多刀平直的切割（半空間）切開空間，保留它們圍出的有界區域。第二種由內而外：多胞形是一組有限點的凸包，是包住若干角點、毫無凹陷的最小形狀。這兩種描述竟然一致（即閔可夫斯基-外爾定理），意味著一個多胞形既可由它的界定不等式呈現，也可由它的頂點呈現，而在兩者之間轉換是一個深刻的實際問題。多胞形各維度的平直部件就是它的面：頂點（零維）、邊（一維），接著二維面，如此往上直到facet（最高維的面）。

多胞形是線性規劃的形狀——每個線性最佳化問題都是在一個多胞形的頂點之間搜尋，而單純形法字面上就是沿著一條邊一條邊地走。面數遵循一個美麗的規律：在三維中，尤拉關係式 V - E + F = 2 連結任何凸多面體的頂點、邊與面，並推廣為每個維度中的交錯和恆等式（尤拉-龐加萊關係）。一個誠實的注記：「多胞形」通常指「凸」的那種，但這個詞也被延伸到非凸、乃至抽象組合多胞形；而視覺直覺過了三維就用罄了，所以在四維及以上我們信賴的是不等式與頂點的代數，而非腦海中的圖像。