剛性

想像一個化學反應，其中一種物種在微秒內消失，而另一種在一小時內緩緩漂移，兩者由同一組方程支配。快過程幾乎瞬間就安定下來，然後就停在那裡、無關緊要——然而顯式方法卻被逼著在整整一小時裡都以微秒的步長躡手躡腳，懼怕著它早已看不見的那個快模態。這個令人抓狂的情形——天差地別的時間尺度並存、而最快的那個在早已消逝之後仍強加一個小到懲罰人的步長——就是剛性。

精確地說，一個問題是剛性的，當它的解分量在差異懸殊的時間尺度上衰減——在數學上，當系統（或局部的雅可比矩陣）的特徵值橫跨巨大的數量級範圍、其中有些強烈為負時。麻煩純粹是數值上的：顯式方法狹小的絕對穩定區域要求 h*lambda 待在裡面，所以最負的 lambda（衰減最快的模態）強加一個小步長，「即使在」解中緩慢平滑、準確度本來樂於用大步的那部分。約束變成穩定性而非準確度。

剛性是科學計算中最重要的實務事實之一，也是隱式方法存在的理由。對剛性問題用 RK4，它要麼走上百萬個無謂的小步，要麼若你把 h 推高就炸成振盪的垃圾。解藥是隱式方法——後向尤拉或 BDF 家族——其巨大的穩定區域讓你跨過死掉的快模態，以大而穩定的步追隨緩慢的解。剛性無關方程難不難寫或解狂不狂野；它特指那種時間尺度的衝突癱瘓顯式方法。