絕對穩定區域

準確度關乎你離真相有多近；穩定性關乎你的計算究竟有沒有規矩，還是失控變成胡言。即使在真解安靜衰減到零的問題上，一個步長過大的數值方法也可能產生成長、振盪、爆炸的結果——純粹的數值垃圾，與現實毫無關係。絕對穩定區域正是哪些步長能讓方法守規矩、哪些會讓它爆炸的精確地圖。

精確地說，你用一個基準方程 y' = lambda y 測試每個方法，它的精確解 e^(lambda t) 在 lambda 實部為負時衰減。套用一個方法得到 y_(n+1) = R(z) * y_n，其中 z = h * lambda，R 是由方法固定的函數。數值解保持有界（吻合衰減的真相），恰恰在 R(z) 的絕對值至多為 1 時。使這成立的複數 z = h*lambda 的集合，就是絕對穩定區域——複平面上的一個形狀。對給定的 lambda，你必須選 h 使得 h*lambda 落在那個區域內。

這個形狀就是剛性的全部故事。像尤拉法與 RK4 這樣的顯式方法有「小」而有界的穩定區域，所以一個強烈為負的 lambda 逼得 h 必須極小才能待在裡面——這正是剛性的詛咒。像後向尤拉這樣的隱式方法有「巨大」的穩定區域（後向尤拉對整個左半平面都穩定，稱為 A 穩定），所以它們在剛性問題上走大步而不爆炸。讀一個方法的穩定區域，能在你計算任何東西之前就告訴你它能撐住多大的步——以及它究竟能不能處理剛性。