相容性與收斂性

當你建立一個數值方法時，兩個誠實的問題懸在它頭上。第一：當你把步長 h 縮向零時，每一個單步至少要模仿真微分方程嗎——方法究竟有沒有「瞄準」對的東西？這是相容性。第二，也是你真正在乎的問題：當你縮小 h 時，整個算出的解是否真的在整個區間上逼近真解？這是收斂性。一個方法看起來合理，卻可能在這兩項測試中任一項失敗。

精確地說，一個方法是相容的，若它的局部截斷誤差在 h 趨於零時比 h 更快地趨於零——等價地說，若它的更新公式在小步極限下化歸為微分方程。這是最起碼的合理性檢查；幾乎每個明智的方法都通過。收斂性才是真正的獎品：在固定的最終時刻 T，當 h 趨於零（且 N 趨於無窮）時數值解 y_N 逼近真解 y(T)。收斂性正是讓你能信任任何數值答案的根據——沒有它，細化網格也買不到準確度。

把兩者綁在一起的深刻結果，是常微分方程的 Lax 型等價原理，常被陳述為：相容性加上零穩定性等於收斂性。光有相容性還不夠——一個相容但零不穩定的多步法，其微小誤差可能一步又一步地被爆炸性放大而發散。你需要「兩者兼具」：方法瞄準正確（相容性）「以及」誤差在傳播時不爆炸（零穩定性）。當兩者皆備時，你便得到獎品：方法收斂，全域誤差為 h^p 量級，p 是它的階。