自適應步長控制

固定步長是個生硬的妥協。在解幾乎不變的地方，你浪費力氣走不必要的小步；在它突然急彎的地方，你的步又太大、誤差暴增。明智的做法是讓步長能呼吸——在困難、快速變化的路段小而謹慎，在平靜、平滑的路段大而省力。自適應步長控制正是自動做到這點，當場調整 h，把誤差維持在你設定的容差之內。

精確地說，每一步求解器都估計它剛犯的局部誤差（通常靠在同一步上比較兩個不同階的方法，如內嵌龍格－庫塔對所做的，或比較一個整步與兩個半步）。若估計誤差超過你的容差，這一步被拒絕、用更小的 h 重試。若誤差舒舒服服地低於容差，這一步被接受、且下次把 h 放大。新步長由一個依誤差如何隨 h 縮放的公式選定——對 p 階估計，h_new 約為 h * (容差 / 估計誤差)^(1/(p+1))——所以求解器逼近仍能達到你準確度目標的最大步長。

這正是每個現代常微分方程求解器所做的事，也是為何你能把一個難題與一個容差交給求解器、然後乾脆信任它。你直接控制準確度（你要求的是誤差水平，而非步長），而求解器只在問題要求的地方花力氣——這可能比一個細到足以應付最糟之處的固定步快上好幾個數量級。誠實的提醒：誤差「估計」本身是近似的、容差控制的是局部而非全域誤差，而極緊的容差終究會撞上捨入誤差下限，那裡更小的步不再有幫助。