平穩高斯過程的譜表示（spectral representation）

平穩過程無論你何時開始觀察，統計上看起來都相同——它的共變異數僅依賴時間落差，而非絕對時間。對平穩高斯過程，「它們長什麼樣」有一個優美的傅立葉分析答案：每個這樣的過程都是隨機正弦波的疊加，其各頻率上的振幅由一個譜測度主宰。這是高斯噪音的頻域圖像，它使共變異數與過程成為傅立葉變換的兩面。

設 (X_t)_(t in R) 為中心化平穩高斯過程：K(s, t) = r(t - s) 僅依賴落差 h = t - s。由 Bochner 定理，共變異數函數 r 為正定，故是頻率軸上某有限非負測度 mu 的傅立葉變換：r(h) = integral exp(i lambda h) mu(d lambda)。此 mu 為譜測度；當它有密度 f（稱譜密度）時，r(h) = integral exp(i lambda h) f(lambda) d lambda，且總變異數為 r(0) = mu(R)。Cramer 譜表示把這提升到過程本身：X_t = integral exp(i lambda t) dZ(lambda)，其中 Z 是具正交增量的複高斯隨機測度，E[ |dZ(lambda)|^2 ] = mu(d lambda)。故過程確實是隨機振幅的複指數之積分，頻率 lambda 處的功率由譜設定。譜集中意味緩變、高度相關的路徑；譜分散（平坦）意味粗糙、弱相關的路徑——白噪音是平坦譜密度的形式極限。

重要性：譜表示把平穩高斯過程「對角化」——頻率成為獨立坐標——把卷積型運算化為乘法，使預測、濾波、與樣本路徑正則性可由譜測度的尾部計算（高頻尾越重 = 路徑越粗糙）。它是時間序列分析、訊號處理、與 Karhunen-Loeve 概念的基礎。兩個誠實要點：此處的「平穩」是嚴格平穩，而對高斯過程它「等價」於弱（共變異數）平穩，正因為整個分布律由共變異數決定；且 Bochner 要求 r 連續（否則測度可能須含原子／離散譜線以表示週期分量）。